Wyrażenia Równoważne na SAT Math

Rozkład na czynniki, rozwijanie i upraszczanie — szybkie techniki

Wyrażenia równoważne to dział, w którym SAT testuje czystą algebrę — bez kontekstu słownego, bez wykresów. Zadanie zazwyczaj brzmi: „Które z poniższych wyrażeń jest równoważne $(x + 3) (x - 2)$ ?”. To są szybkie punkty, jeśli znasz wzory skróconego mnożenia i metody rozkładu.

Spotkasz 3–4 zadania na egzaminie, średnio łatwiejsze niż przeciętne. Klucz to opanowanie kilku wzorów — różnica kwadratów, kwadrat sumy, sześcian sumy — i znajomość rozkładu trójmianu na czynniki. Te narzędzia załatwiają 90% zadań w tym dziale.

Co dokładnie testuje SAT?

Rozwijanie iloczynu: $(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab$
Rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki
Wzory skróconego mnożenia: $(a + b)^{2}$ , $(a - b)^{2}$ , $a^{2} - b^{2}$
Upraszczanie wyrażeń wymiernych przez skracanie
Wyciąganie wspólnego czynnika

Kluczowe pojęcia

Różnica kwadratów

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ . Najczęstszy wzór na SAT. Działa też z liczbami: $25 - 16 = (5 - 4) (5 + 4) = 9$ .

Kwadrat sumy / różnicy

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ . Środkowy wyraz to $2 ab$ — nie zapomnij współczynnika 2.

Rozkład trójmianu

Trójmian $x^{2} + b x + c$ rozkłada się na $(x + p) (x + q)$ , gdzie $p + q = b$ i $p \cdot q = c$ .

Skracanie wyrażeń wymiernych

W ułamku $\frac{( x + 3 ) ( x - 2 )}{( x + 3 ) ( x + 5 )}$ , możesz skrócić $(x + 3)$ pod warunkiem, że $x \neq = - 3$ . SAT czasem pyta o ten warunek.

Przykładowe zadania

Przykład 1

Które wyrażenie jest równoważne $(x + 4) (x - 4) - (x - 2)^{2}$ ?

Rozwiązanie

Rozwijamy oba: $(x + 4) (x - 4) = x^{2} - 16$ (różnica kwadratów). $(x - 2)^{2} = x^{2} - 4 x + 4$ . Odejmujemy: $(x^{2} - 16) - (x^{2} - 4 x + 4) = 4 x - 20$ .

💡 Korzystaj ze wzorów skróconego mnożenia — to oszczędza obliczenia i błędy.

Przykład 2

Uprość wyrażenie $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 5 x + 6}$ .

Rozwiązanie

Rozkładamy oba na czynniki: licznik $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ . Mianownik $x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ . Skracając: $\frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x + 2 ) ( x + 3 )} = \frac{x - 3}{x + 2}$ .

💡 Najpierw rozkład, potem skracanie. Nigdy nie skracaj sumy z sumą — tylko czynniki.

Częste błędy

Skracanie sumy z sumą: $\frac{x + 3}{x + 5}$ NIE upraszcza się do $\frac{3}{5}$ .
Zapominanie środkowego wyrazu $2 ab$ w $(a + b)^{2}$ .
Mylenie $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ — to klasyczny błąd. Środek MUSI być.
Próba „zgadywania” rozkładu trójmianu bez sprawdzenia $p \cdot q = c$ i $p + q = b$ .

Strategia na egzaminie

Naucz się wzorów skróconego mnożenia na pamięć — to absolutna podstawa. Gdy widzisz $a^{2} - b^{2}$ , automatycznie myśl o rozkładzie. Gdy widzisz wyrażenie wymierne, zawsze najpierw rozkładaj licznik i mianownik na czynniki — bez tego nie skrócisz. Jeśli nie widzisz drogi do uproszczenia, podstaw konkretną liczbę za $x$ (np. $x = 2$ ) i sprawdź, które z odpowiedzi daje tę samą wartość.

Najczęstsze pytania

Jakie wzory skróconego mnożenia muszę znać na SAT?

Trzy podstawowe: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ , $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ . Plus rozkład trójmianu kwadratowego $a x^{2} + b x + c$ .

Jak rozkładać trójmian kwadratowy?

Dla $x^{2} + b x + c$ : znajdź dwie liczby, których suma to $b$ i iloczyn to $c$ . Np. $x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ , bo $2 + 3 = 5$ i $2 \cdot 3 = 6$ .

Jak skracać wyrażenia wymierne?

Rozkładaj licznik i mianownik na czynniki. Skróć wspólne czynniki. Przykład: $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x + 2$ (dla $x \neq = 2$ ).

Czy mogę podstawić liczbę, żeby sprawdzić odpowiedź?

Tak — to legalna i skuteczna technika. Wybierz „dziwną" liczbę (np. $x = 3$ , nie $x = 0$ ani $x = 1$ ), oblicz wartość pierwotnego wyrażenia, a potem sprawdź, która odpowiedź daje to samo. Działa świetnie dla pytań „które wyrażenie jest równoważne…".

Rozpocznij ćwiczenia →

Ćwicz ponad 80 zadań z wyrażeń równoważnych