Funkcje Nieliniowe na SAT Math

Funkcje kwadratowe, wykładnicze, wartość bezwzględna — co testuje SAT i jak się przygotować

Funkcje nieliniowe to trudniejsza, ale przewidywalna część SAT Math. Spotkasz tu trzy główne typy: funkcje kwadratowe ( $y = a x^{2} + b x + c$ ), wykładnicze ( $y = a \cdot b^{x}$ ) i z wartością bezwzględną ( $y = ∣ x ∣$ ). Każda ma własny zestaw narzędzi, ale wspólny wątek to: rozpoznawanie typu z wykresu lub kontekstu, znajdowanie miejsc zerowych, wierzchołków i interpretacja w kontekście.

SAT najczęściej testuje kwadratowe — wzór kwadratowy, rozkład na czynniki, wyróżnik. Funkcje wykładnicze pojawiają się w kontekście wzrostu i spadku (procent składany, populacja). Wartość bezwzględna jest najrzadsza, ale jeśli rozumiesz, że $∣ x ∣ = c$ ma dwa rozwiązania ( $x = c$ lub $x = - c$ ), masz większość zadań pokrytych.

Co dokładnie testuje SAT?

Rozkład trójmianu $a x^{2} + b x + c$ na czynniki
Wzór kwadratowy: $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$
Wyróżnik: $Δ = b^{2} - 4 a c$ i jego znak (jedna, dwie lub żadna rzeczywista wartość)
Wierzchołek paraboli: $x = - \frac{b}{2 a}$
Funkcja wykładnicza $y = a \cdot b^{x}$ — wzrost ( $b > 1$ ) i spadek ( $0 < b < 1$ )
Równania z wartością bezwzględną: $∣ f (x) ∣ = c$ daje dwa równania

Kluczowe pojęcia

Postać iloczynowa

Gdy $y = a (x - p) (x - q)$ , miejsca zerowe to $p$ i $q$ . To najszybsza forma do czytania zer funkcji kwadratowej.

Postać kanoniczna (wierzchołkowa)

Gdy $y = a (x - h)^{2} + k$ , wierzchołek paraboli to $(h, k)$ . Najszybsza forma, gdy pytanie dotyczy maksimum lub minimum.

Wyróżnik

$Δ = b^{2} - 4 a c$ mówi ile równanie $a x^{2} + b x + c = 0$ ma rozwiązań rzeczywistych. $Δ > 0$ — dwa, $Δ = 0$ — jedno, $Δ < 0$ — brak.

Wzrost wykładniczy

Gdy $y = a \cdot b^{x}$ i $b > 1$ , funkcja rośnie wykładniczo. Wzrost o $r$ rocznie zapisujemy jako $y = a (1 + \frac{r}{100})^{t}$ . Spadek — odejmujemy zamiast dodawać.

Przykładowe zadania

Przykład 1

Funkcja $f (x) = x^{2} - 8 x + 12$ ma miejsca zerowe w punktach $x = p$ i $x = q$ . Ile wynosi $p + q$ ?

Rozwiązanie

Rozkład na czynniki: $x^{2} - 8 x + 12 = (x - 2) (x - 6)$ . Miejsca zerowe: $p = 2$ , $q = 6$ . Suma: $p + q = 8$ . (Alternatywnie: z wzorów Viète'a, suma miejsc zerowych równa się $- \frac{b}{a} = 8$ .)

💡 Wzory Viète'a są często szybsze niż rozkład. Pamiętaj: suma miejsc $= - \frac{b}{a}$ , iloczyn $= \frac{c}{a}$ .

Przykład 2

Populacja miasta rośnie wykładniczo. W roku 2020 wynosiła 50 000, w 2024 — 73 205. Jaki jest roczny procent wzrostu?

Rozwiązanie

Model: $P (t) = 50000 \cdot (1 + r)^{t}$ . Po 4 latach: $73205 = 50000 \cdot (1 + r)^{4}$ . Zatem $(1 + r)^{4} = 1, 4641$ . Wyciągając pierwiastek czwartego stopnia: $1 + r \approx 1, 1$ , czyli $r \approx 0, 1$ = 10%.

💡 Procent wzrostu „rocznie” to $r$ w $(1 + r)^{t}$ , gdzie $t$ — liczba lat.

Częste błędy

Mylenie postaci kanonicznej z iloczynową. W $(x - 2)^{2} + 3$ wierzchołek jest w $(2, 3)$ , a NIE w $(- 2, 3)$ .
Zapominanie o $\pm$ przy pierwiastku w wzorze kwadratowym.
Pomijanie ujemnego pierwiastka kwadratowego: jeśli $x^{2} = 25$ , to $x = 5$ LUB $x = - 5$ .
W zadaniach z procentem składanym — używanie wzoru z $r$ jako liczby (0,1) zamiast procentu (10).

Strategia na egzaminie

Najpierw rozpoznaj formę zadania: kwadratowa? wykładnicza? z wartością bezwzględną? Każda ma własny szybki algorytm. Dla kwadratowych — jeśli pytanie dotyczy miejsc zerowych, próbuj najpierw rozkładu; dopiero gdy się nie udaje, wzór kwadratowy. Wzory Viète'a oszczędzają sekundy, gdy pytanie dotyczy sumy lub iloczynu miejsc — używaj ich. Dla wykładniczych — sprawdź, czy współczynnik podstawowy $b$ jest większy czy mniejszy od 1; to powie ci od razu, czy to wzrost czy spadek.

Najczęstsze pytania

Jakie są wzory Viète'a?

Dla $a x^{2} + b x + c = 0$ o pierwiastkach $x_{1}, x_{2}$ : suma $x_{1} + x_{2} = - b / a$ , iloczyn $x_{1} \cdot x_{2} = c / a$ . Pozwalają znaleźć sumę i iloczyn pierwiastków BEZ ich rozwiązania.

Jak rozpoznać postać paraboli?

Standardowa: $y = a x^{2} + b x + c$ . Wierzchołkowa: $y = a (x - h)^{2} + k$ , wierzchołek w $(h, k)$ . Iloczynowa: $y = a (x - r_{1}) (x - r_{2})$ , miejsca zerowe to $r_{1}, r_{2}$ .

Co to jest funkcja wykładnicza i jak ją rozpoznać?

Postać $y = a \cdot b^{x}$ . Jeśli $b > 1$ — wzrost wykładniczy. Jeśli $0 < b < 1$ — spadek. Jeśli $b$ wynosi np. 1,05 — wzrost o 5% na okres.

Czym różni się funkcja wymierna od kwadratowej?

Wymierna ma postać $y = P (x) / Q (x)$ gdzie $P$ i $Q$ to wielomiany. Kwadratowa to wielomian stopnia 2. Wymierne mogą mieć asymptoty — kwadratowe nie.

Rozpocznij ćwiczenia →

Ćwicz ponad 90 zadań z funkcji nieliniowych